Consideriamo ora un generico sistema lineare, al quale venga applicato in ingresso un segnale sinusoidale. Come sappiamo, il segnale di uscita è costituito dalla somma di una risposta libera (dipendente solo dalle caratteristiche del sistema) e di una risposta forzata (con forma d'onda simile a quella del segnale applicato in ingresso). Pertanto, nel caso di ingresso sinusoidale, la risposta forzata dovrebbe avere un andamento non troppo diverso da quello di una sinusoide. In realtà si può dimostrare che per un sistema lineare con ingresso sinusoidale la risposta forzata è sempre una sinusoide con la stessa frequenza della sinusoide di ingresso.

La dimostrazione può essere effettuata considerando l'equazione differenziale ingresso-uscita, che costituisce un modello matematico valido per descrivere tutti i sistemi lineari. Le operazioni presenti in un'equazione differenziale lineare possono essere solo di tre tipi:

1. prodotto per fattori costanti

2. derivate di qualsiasi ordine

3. somme o differenze

Si può vedere che, applicando le precedenti operazioni ad un segnale sinusoidale, il risultato è ancora una sinusoide con la stessa frequenza. La verifica è banale nel caso del prodotto per costante. Infatti moltiplicando una sinusoide per una costante, si modifica solo l'ampiezza del segnale, mentre forma d'onda, frequenza e fase rimangono immutate

K ´ A sen(w^. t) = K^.A sen(w^. t)

Anche nel caso della derivata, il calcolo non presenta particolari difficoltà. Infatti

Come si può osservare, l'effetto della derivata è quello di moltiplicare l'ampiezza A per la pulsazione w e di aumentare la fase di +p/2 rad. La forma d'onda rimane sinusoidale ed anche la frequenza non subisce modifiche. Considerazioni analoghe valgono anche per le derivate di ordine superiore (derivata seconda, derivata terza ecc.). Infine, applicando le formule trigonometriche di addizione, sarebbe anche possibile verificare che sommando o sottraendo due sinusoidi con la stessa w, il risultato è ancora una sinusoide isofrequenziale con le precedenti.

Bisogna però tenere a mente che l'affermazione precedente è corretta solo se non si tiene conto della risposta libera. Infatti l'uscita sinusoidale, come accennato all'inizio del paragrafo, costituisce solo la risposta forzata, alla quale, per completare il segnale di uscita, bisognerebbe ancora aggiungere la risposta libera del sistema. Per esempio, nel caso di un circuito RC serie, la risposta totale con ingresso sinusoidale sarà costituita dalla somma di una sinusoide isofrequenziale con l'ingresso (risposta forzata) e di un termine di tipo esponenziale decrescente (risposta libera):

 

Nell'espressione precedente si osservi che la pulsazione della sinusoide di uscita è stata indicata con w_in, per ricordare che si tratta dello stesso valore di pulsazione della sinusoide di ingresso. Invece l'ampiezza A_u e la fase j_u del segnale di uscita sono in generale differenti da quelle del segnale di ingresso. La costante B che moltiplica la risposta libera rappresenta invece un valore che dipende dalle condizioni iniziali all'istante t = 0 del sistema.

Supponendo che, come di solito accade, la risposta libera del sistema abbia carattere di transitorio (cioè tenda ad estinguersi col tempo), possiamo affermare che, dopo l'estinzione dei transitori (a regime), la risposta di un sistema lineare con ingresso sinusoidale è sempre una sinusoide isofrequenziale con l'ingresso. La condizione di ingresso sinusoidale e di risposta libera estinta prende il nome di regime sinusoidale permanente (oppure, in modo meno preciso, studio in alternata).

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