Supponiamo per semplicità di considerare un sistema lineare con un solo ingresso ed una sola uscitae supponiamo che il sistema si trovi in condizioni di regime sinusoidale . Come sappiamo dal precedente paragrafo, ciò significa che il segnale di ingresso deve essere una sinusoide ed inoltre che devono essersi esauriti tutti i transitori eventualmente presenti nella risposta del sistema. In tali ipotesi, data la linearità del sistema, sappiamo che anche l'uscitau(t) deve essere una sinusoide con la stessa frequenza del segnale di ingresso. Dal punto di vista matematico, la precedente osservazione può essere interpretata affermando che, se il termine noto dell'equazione differenziale lineare è una sinusoide, anche la funzione incognita deve essere una sinusoide isofrequenziale con la precedente. Queste considerazioni ci consentono, nel caso in esame, di restringere notevolmente il campo di ricerca delle possibili soluzioni delle equazioni differenziali.

Per fissare le idee, consideriamo nuovamente il circuito RC serie trattato in precedenza e supponiamo che v_c sia la variabile di uscita. In questo caso l'equazione differenziale ingresso-uscita coincide con l'equazione di stato del sistema:

Sia R = 1 kW e C = 1 mF. Supponiamo quindi che v_in(t) sia un segnale sinusoidale con ampiezza 2 V e pulsazione w = 500 rad/s. Con tali dati, l'equazione diventa

Se supponiamo di studiare il sistema dopo l'estinzione dei transitori (regime sinusoidale permanente), l'uscita v_c è data da

v_c(t) = A_c sen(500^.t + j_c)

Come si vede, la tensione v_c è ancora un segnale sinusoidale con la stessa pulsazione (w=500 rad/s) della sinusoide di ingresso v_in(t). Solo l'ampiezza A_c e la fase j_c non sono note. La determinazione di questi due valori consentirebbe appunto di trovare una soluzione dell'equazione differenziale (con quel particolare ingresso sinusoidale). Sostituiamo ora l'espressione trovata per v_c(t) nell'equazione differenziale. Abbiamo pertanto:

Per risolvere la precedente equazioni bisogna svolgere calcoli che implicano, come già osservato nel paragrafo precedente, operazioni di moltiplicazione per costante, di derivata e di somma. Tali operazioni, dal momento che siamo in condizioni di regime sinusoidale permanente, si applicano tutte a sinusoidi con la stessa pulsazione w = 500 rad/s. La figura seguente mette in evidenza le tre operazioni su sinusoidi nell'equazione differenziale del circuito RC.

Possiamo affermare che, se fossimo in grado di calcolare le operazioni fra sinusoidi isofrequenziali presenti nella nostra equazione differenziale, allora saremmo anche in grado di risolvere l'equazione differenziale in regime sinusoidale permanente. Di tali tre operazioni, la moltiplicazione per costante è molto facile (basta moltiplicare per la costante l'ampiezza della sinusoide, lasciandone invariata la fase); anche la derivata di una sinusoide può essere calcolata in modo abbastanza semplice, come si è visto nel paragrafo precedente. L'operazione più complicata da svolgere è senz'altro la somma di sinusoidi: a tale scopo è possibile utilizzare opportune formule trigonometriche (dette formule di addizione).

Esiste tuttavia un metodo molto più semplice ed immediato per risolvere una equazione differenziale in regime sinusoidale permanente. L'idea che sta alla base di tale metodo consiste nel trasformare le operazioni fra sinusoidi in corrispondenti operazioni fra numeri complessi. Poiché, come vedremo, le operazioni fra i numeri complessi sono più facili da calcolare delle operazioni fra sinusoidi, il procedimento consente di semplificare notevolmente il calcolo della soluzione dell'equazione differenziale.