Vogliamo ora trovare un modo matematico per calcolare la pendenza di una curva. In geometria la pendenza di una curva in un punto è definita dalla pendenza della retta tangente alla curva in quel punto:
Supponiamo per semplicità come esempio di voler calcolare la pendenza della retta tangente a una parabola y = x2 nel punto di coordinate x=1 e y=1 (retta in rosso in figura):
Per trovare la pendenza della tangente procediamo nel seguente modo. Per prima cosa troviamo la pendenza di una secante alla curva che passa per il punto dato (1,1) e per un altro punto qualsiasi, per esempio (2,4):
La pendenza P di questa retta è facile da trovare poiché basta calcolare il rapporto fra l'incremento Δy dell'ordinata verticale e l'incremento Δx dell'ascissa orizzontale:
Ora avviciniamo il secondo punto al primo, prendendo per esempio un punto di coordinate x = 1,5 e y = (1,5)2 = 2,25:
La pendenza di questa nuova retta secante è data da:
Per arrivare alla tangente, procediamo allo stesso modo avvicinando sempre di più il secondo punto al primo (1,1) e calcolando ogni volta la nuova pendenza. Otteniamo i risultati in tabella:
| x2 | Pendenza |
| 2 | 3 |
| 1,5 | 2,5 |
| 1,25 | 2,25 |
| 1,1 | 2,1 |
| 1,05 | 2,05 |
Osserviamo che più il secondo punto (di ascissa x2) si avvicina al primo punto (di ascissa x1 = 1) più la retta secante tende a trasformarsi nella tangente e la sua pendenza tende a stabilizzarsi intorno al valore P = 2.
In matematica si dice che la tangente si ottiene facendo il limite di una serie di rette secanti per Δx che tende a zero (Δx→0). La pendenza della tangente si ottiene facendo il limite della pendenza delle secanti, ovvero matematicamente:
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