In tutta la discussione precedente abbiamo detto che il rapporto incrementale
è solo una approssimazione. Per rendere esatta la formula bisognerebbe porre Δt = 0, ma ciò è impossibile perché è impossibile calcolare una divisione per zero.
Cosa succede però se rendiamo Δt molto piccolo, infinitamente piccolo, quasi zero? Siccome Δt si trova a denominatore della frazione, si potrebbe pensare che riducendo Δt la frazione tenda a crescere verso valori infinitamente grandi.
Questo però non è necessariamente vero, dal momento che riducendo Δt si riduce anche il numeratore Y(t+Δt) - Y(t). Infatti la differenza ΔY = Y(t+Δt) - Y(t) dipende anch'essa da Δt e diventa sempre più piccola via via che si riduce Δt.
Facciamo un esempio per inquadrare meglio il problema. Supponiamo di voler misurare la pendenza di una strada:
La pendenza P si misura facendo il rapporto fra l'incremento in altezza Δh (cioè di quanto la strada sale o scende) e l'incremento in orizzontale Δx:
Si osservi come si tratti praticamente sempre della stessa formula del rapporto incrementale. L'unica differenza è che in questo caso abbiamo Δx a denominatore invece di Δt.
Per esempio con riferimento alla figura qui sopra la pendenza nel primo tratto da 0 a 1 km è:
Nel secondo tratto da 1 a 2 km la pendenza è
Nel terzo tratto, da 2 a 3 km, la pendenza è zero in quanto non c'è nessuna variazione dell'altezza:
Infine nell'ultimo tratto da 3 a 4km la pendenza è negativa, in quanto la strada scende di quota:
Le pendenze calcolate sono evidentemente pendenze medie, dal momento che la pendenza della strada può variare anche di molto da un punto all'altro. Per esempio se ingrandiamo (zoomando) il primo tratto di salita, notiamo che la pendenza cresce da zero (freccia azzurra iniziale) a un valore massimo nel tratto centrale della curva (freccia in rosso) per poi scendere di nuovo nell'ultimo tratto finale (freccia verde):
Per ottenere una misura più precisa della pendenza P possiamo dunque pensare di ridurre Δx facendo una misura di variazione di quota ogni 100 m invece che ogni chilometro:
Il reticolo in grigio nella figura qui sopra indica le diverse quote raggiunte ogni 100 m. Come si può notare le linee grigie non sono tutte alla stessa distanza, dato che la pendenza P non è costante. Se per esempio vogliamo calcolare la pendenza nel primo tratto di 100 m abbiamo:
Analogamente nel secondo tratto avremmo:
e così via. Si osservi che la pendenza P non tende necessariamente a crescere quando si riduce il denominatore Δx. Anzi, quando Δx è molto piccolo, ulteriori riduzioni cambiano di poco o di nulla il calcolo della pendenza.
Per esempio se invece di Δx = 100 m, misurassimo la pendenza ogni Δx = 10 m e poi ogni Δx = 1 m e così via riducendo ogni volta Δx, alla fine otterremmo dei valori praticamente stabili e costanti (cioè che non cambiano riducendo ulteriormente Δx).
Concludendo abbiamo scoperto che:
- il rapporto incrementale può essere considerato come la
misura della pendenza di una curva
- riducendo il denominatore di tale rapporto e portandolo a zero, il rapporto tende a stabilizzarsi su un valore limite
Per esempio, considerando di nuovo la definizione di velocità V
abbiamo scoperto che V è una misura di quanto rapidamente varia lo spazio percorso, cioè è una misura della pendenza della curva S(t). Per esempio la figura qui sotto mostra lo spazio S percorso nel tempo da un corpo in moto rettilineo uniforme:
Osserviamo che lo spazio aumenta di 0,5 m per ogni secondo (ovvero di 1 m ogni 2 secondi) e dunque:
Osserviamo che tale valore di velocità rappresenta la pendenza della curva S e inoltre tale valore è costante, ovvero se riduciamo l'intervallo di calcolo Δt, otteniamo sempre lo stesso valore.
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