In generale una grandezza G si dice incrementale se può essere definita dal seguente rapporto, detto rapporto incrementale:
dove G è la grandezza da definire, ΔY rappresenta la variazione di un'altra grandezza Y e Δt è l'intervallo di tempo nel quale è stata misurata Δt (torneremo dopo sul significato del simbolo di circa uguale ≈).
Per esempio nel caso della velocità V il rapporto incrementale è
dove ΔS misura quanto è variato lo spazio S nell'intervallo di tempo Δt.
Il rapporto incrementale si chiama così perché è un rapporto (cioè una divisione) fra due incrementi, ΔY e Δt.
Il rapporto incrementale di una grandezza G qualsiasi può essere anche scritto come
dove ΔY è stato scritto come Y(t+Δt) - Y(t), cioè come differenza fra il valore di Y all'istante t e il valore di Y all'istante successivo t+Δt.
Per esempio se R è la velocità con cui aumenta il livello L dell'acqua in un lago in un'ora, abbiamo:
dove Δt = 1 h, L(t) è il livello dell'acqua all'inizio e L(t+Δt) è il livello alla fine dell'ora considerata. Pertanto ΔL = L(t+Δt) - L(t) è l'aumento (o la diminuzione) del livello in un'ora di tempo.
Scrivendo in questo modo il rapporto incrementale possiamo ottenere una formula inversa per il calcolo della grandezza Y a partire dalla grandezza incrementale G:
Y(t+Δt) ≈ Y(t) + Δt × G
Per esempio, considerando di nuovo la velocità V definita dal rapporto incrementale
possiamo ricavarci la formula inversa per il calcolo dello spazio percorso S a partire dalla velocità V:
S(t+Δt) ≈ S(t) + Δt × V
Non è difficile vedere che si ottiene un modello iterativo, calcolabile nel tempo a partire dal valore iniziale S(0) e ripetendo la formula precedente per ogni intervallo di tempo Δt.
Abbiamo già osservato che nella formula del rapporto incrementale è presente il simbolo di circa uguale ≈:
Il motivo è che la formula precedente non è esatta, ma è solo un'approssimazione. Infatti per ottenere il valore istantaneo di G bisognerebbe prendere un intervallo di tempo Δt piccolissimo, idealmente zero.
Ma ciò non si può fare perché se poniamo Δt = 0 nella formula precedente, otteniamo una divisione per zero che è matematicamente impossibile.
Dobbiamo dunque accontentarci di prendere per Δt un valore sufficientemente piccolo per rendere i nostri calcoli abbastanza precisi (torneremo ancora su questo punto più avanti).
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