In matematica, come è noto, la pendenza di una curva (funzione) in un punto si esprime tramite la derivata della funzione calcolata in quel punto. Più precisamente il valore della derivata rappresenta il valore della pendenza della retta tangente alla curva in un punto P:
Ma, come abbiamo visto nel precedente paragrafo, la pendenza di tale retta tangente si ottiene calcolando il limite per Δx→0 del rapporto incrementale
Dunque la derivata di una funzione è il limite del suo rapporto incrementale quando Δx tende a zero.
Detto in altre parole: se si riduce Δx fino a renderlo praticamente zero, il rapporto incrementale si trasforma nella derivata.
Questo significa che tutte le grandezze che abbiamo definito tramite un rapporto incrementale (approssimato, poiché Δt non è zero), si possono in realtà definire in modo più preciso per mezzo della loro derivata. Per esempio consideriamo di nuovo la velocità di un corpo definita in base allo spazio ΔS percorso in un certo tempo Δt:
Se facciamo tendere Δt a zero la formula precedente si trasforma nella derivata:
Abbiamo indicato con S' la derivata dello spazio S. Dunque possiamo scrivere che
V = S'
ovvero che la velocità è uguale alla derivata dello spazio S. Si noti che nella formula precedente è scomparso il simbolo di circa uguale. Infatti facendo tendere Δt→0 la formula è diventata esatta, poiché è scomparsa l'approssimazione legata al valore non zero di Δt.
In modo perfettamente analogo, la corrente I può essere definita come la derivata della carica Q:
I = Q'
E così via allo stesso modo, per tutte le grandezze incrementali di cui abbiamo precedentemente parlato.
Per comprendere meglio cosa significa che la velocità è la derivata dello spazio percorso, consideriamo un esempio. Supponiamo di avere un razzo che sale verso l'alto per un secondo e percorre 1500 m; quindi la sua velocità aumenta e nel secondo successivo percorre altri 2000 m; infine raggiunge la velocità massima e nel secondo successivo sale di 2500 m. Possiamo rappresentare tutto questo con un grafico:
Si osservi che la pendenza della curva che rappresenta lo spazio S in funzione del tempo t aumenta via via che il razzo sale. Tale pendenza misura appunto la velocità, che può essere calcolata facendo la derivata di S nei diversi tratti di pendenza.
Nel primo secondo la velocità (=derivata=pendenza) è 1500 m/s, quindi diventa 2000 m/s e infine arriva a 2500 m/s.
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