Torniamo adesso al modello matematico iterativo per il calcolo della popolazione di batteri e rappresentiamo su un grafico i valori ottenuti con N(0) = 1000 e con Dtg = 30 minuti
I punti segnati in nero su tale grafico rappresentano i valori del numero di batteri calcolati ad intervalli Dtg = 30 minuti. Come si può notare, la popolazione cresce molto rapidamente, tanto che in breve i valori non possono più essere rappresentati sul grafico. Si noti inoltre che il grafico di figura 3.3 è incompleto, cioè contiene solo i valori di N in corrispondenza di alcuni istanti di tempo: esso infatti è stato tracciato per punti, dal momento che, come già osservato, il calcolo della equazione discretizzata fornisce i valori di N solo ogni 30 minuti. Che cosa accadrà però negli istanti intermedi? Ovvero, per esempio, quale sarà il numero di batteri presenti all'istante t = 70 minuti?
Se supponiamo che il numero di batteri nella capsula vari istantaneamente allo scadere di ogni intervallo di tempo Dtg, in t = 70 minuti si avrà lo stesso numero di batteri che in t = 60 minuti, cioè 2000 batteri. Potremmo dunque completare il grafico per mezzo di una serie di "salti a gradino", come mostrato in figura:
L'andamento mostrato nel grafico appare piuttosto improbabile ed irrealistico: in esso infatti la popolazione di batteri si mantiene costante fra due istanti di calcolo successivi e varia quindi improvvisamente. Ciò equivale ad ipotizzare che tutte le divisioni batteriche si verifichino simultaneamente. Tale andamento si basa sull'ipotesi che i batteri all'istante zero siano tutti appena nati (cioè abbiano tutti la stessa "età") e che essi si riproducano con precisione cronometrica ad ogni intervallo Dtg. Sembra più ragionevole supporre che i batteri presenti nella popolazione iniziale abbiano diverse "età" (per cui alcuni saranno subito pronti per riprodursi, mentre altri dovranno aspettare più tempo) e che Dtg rappresenti solo un valore medio (il tempo di duplicazione varia in realtà da un individuo all'altro della popolazione di batteri). In conseguenza di questi fenomeni, l'andamento reale della popolazione di batteri non sarà mai "a scaletta", ma piuttosto esso seguirà una curva graduale di crescita, senza nessuna variazione improvvisa, come quella mostrata nel grafico in figura:
Una curva che cresce rapidamente come quella
mostrata in tale grafico si dice
esponenziale (crescente). Un modo
piuttosto impreciso, ma semplice, per disegnare la curva esponenziale
consiste nel raccordare con segmenti di retta i punti calcolati per
mezzo della equazione iterativa.
La
curva esponenziale è caratterizzata dal fatto che la sua
pendenza è in ogni punto direttamente proporzionale al
valore assunto dalla curva stessa.
Poiché i valori della curva crescono all'aumentare del tempo t, ne consegue che anche la pendenza della curva esponenziale cresce con t. Questo significa che l'esponenziale cresce con pendenza sempre maggiore all'aumentare di t: la curva diventa cioè sempre più ripida e ben presto i valori assunti sono così elevati che non possono più essere rappresentati sul grafico:
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