Poiché la popolazione di batteri non è mai costante, indichiamo esplicitamente la dipendenza dal tempo nella variabile di uscita: N(t) rappresenta dunque il numero di batteri presenti nella capsula di coltura in un generico istante di tempo t. Per risolvere il sistema, dovremo quindi trovare un modello matematico, il quale ci consenta di calcolare il valore della popolazione di batteri in ogni istante ovvero, come si dice, l'evoluzione nel tempo della popolazione di batteri. Il risultato del calcolo del modello matematico non sarà pertanto un singolo valore, ma una serie di valori (in teoria infiniti) che rappresentano la popolazione di batteri in ogni istante t L'insieme dei batteri nella capsula costituisce una popolazione di batteri ed i singoli batteri vengono detti individui della popolazione di batteri.
Per poter effettuare il calcolo occorre sapere quanto tempo passa fra due divisioni successive di uno stesso batterio. Tale intervallo tempo viene detto durata media di una generazione (nel seguito indicheremo tale valore con Δtg). Ovviamente i batteri non potranno mai essere esattamente sincronizzati e dunque non si duplicheranno tutti allo stesso tempo: per questa ragione la durata di una generazione viene detta "media", in quanto appunto si tratta solo di un valore medio, il quale può variare a seconda del singolo individuo della popolazione e delle condizioni generali della coltura batterica (temperatura, umidità, quantità e qualità del mezzo di coltura etc.). Inoltre Δtg dipende dalla particolare specie di batteri considerata: si tratta dunque evidentemente di un parametro del sistema.
Nonostante le precisazioni precedenti, supponiamo per semplicità che i batteri della nostra popolazione si riproducano tutti contemporaneamente (tale condizione, come si è detto, è del tutto irrealistica!). Allora, conoscendo il numero di batteri N(t) all'istante t, è subito possibile calcolare il numero di batteri nella capsula quando è trascorso un tempo pari ad una durata media di generazione, cioè il numero di batteri all'istante t+Δtg, ovvero N(t+Δtg). Infatti, poiché per ipotesi ogni batterio si divide in due dopo un intervallo di tempo pari a Δtg avremo:
N(t+Δtg ) = 2 N(t)
In pratica la popolazione di batteri raddoppia dopo che è trascorso un tempo pari a SΔtg. Allo stesso modo, dopo un altro intervallo di tempo pari a Δtg avremo:
N(t+Δtg+Dtg)
= 2 N(t+Δtg)
e così via per gli istanti successivi.
Evidentemente il calcolo è possibile solo se già si
conosce il valore della popolazione in un dato istante di tempo:
partendo da tale valore, si potrà quindi calcolare la crescita della
popolazione negli istanti successivi (ad intervalli
Dtg).
Supponiamo dunque di conoscere il numero di batter introdotti
inizialmente nella capsula. Indicando con
t = 0 il genericoistante iniziale, facciamo dunque l'ipotesi di
conoscere N(0). In base a tale valore possiamo effettuare il calcolo del
numero di batteri dopo un intervallo di tempo pari a
Dtg
(cioè nell'istante 0 +
Dtg =
Dtg),
quindi dopo un altro intervallo
Dtg
(istante 0 +
Dtg
+
Dtg = 2
Dtg) e così via.
Se ad esempio supponiamo che si abbia
Dtg = 30 minuti e che in
t = 0 la popolazione sia
costituita da 1000 batteri, dopo 30 minuti (cioè dopo un intervallo
Dtg) avremo:
N(30m) = 2 N(0) = 2
´
1000 = 2000
e dopo altri 30 minuti :
N(60m) = 2
N(30m) = 2
´ 2000 = 4000
e così via.
Si osservi che l’equazione trovata consente di
calcolare la popolazione di batteri ad intervalli di tempo
Dtg a partire
dalla conoscenza del valore della popolazione all'istante precedente.
Infatti la variabile di uscita N
compare a sinistra e a destra dell'uguale, ma riferita a diversi istanti di
tempo (l'istante
precedente a destra e l'istante
successivo a sinistra). Tale equazione, come già visto,
scritta per un generico istante di tempo
t,
diventa:
Naturalmente la precedente equazione costituisce un modello matematico per il nostro sistema, poiché consente di calcolare la popolazione di batteri a partire dalla conoscenza degli ingressi (in questo particolare sistema non ce ne sono!) e dei parametri del sistema (il valore della durata media di una generazione Dtg, caratteristico di ogni specie di batteri). Osserviamo però che, in questo caso, per poter effettuare il calcolo occorre anche conoscere il valore della variabile di uscita all'istante zero iniziale (N(0)): si tratta dunque di un modello matematico piuttosto strano, diverso da tutti quelli incontrati in precedenza.
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