Nei casi più semplici il modello matematico del sistema ha la seguente forma caratteristica:
U = K x I
dove U è l'uscita, I è l'ingresso e K è un parametro del sistema. Si tratta, come si può facilmente riconoscere, di una relazione di proporzionalità diretta, nella quale l'uscita U varia proporzionalmente all'ingresso I.
In una formula proporzionale diretta il rapporto fra uscita U e ingresso I è costante (U/I=K). Ovvero, si dice anche che se l'ingresso aumenta o diminuisce di un certo fattore (es. raddoppia), anche l'uscita aumenta o diminuisce dello stesso fattore (es. raddoppia).
Sono modelli di questo tipo la legge di Ohm di un resistore ideale:
V = R x I
dove V è la tensione di uscita e I è la corrente di ingresso e R è il parametro. Anche la legge di Ohm inversa è puramente proporzionale:
I = V/R = 1/R x V
In questo caso la costante K di proporzionalità vale 1/R (si tratta comunque di un valore costante, calcolabile una volta noto R).
Anche il modello matematico del partitore di tensione resistivo è proporzionale:
In questo caso la costante di proporzionalità è il rapporto di partizione r:
I modelli proporzionali vengono anche detti lineari. La ragione di questo nome è che, tracciando il grafico della caratteristica ingresso-uscita del sistema, questo assume l'aspetto di una linea retta:
Per esempio la figura qui sopra mostra la caratteristica ingresso-uscita di un resistore R con uscita in corrente I e ingresso in tensione V. Si osservi come il grafico sia una retta, la cui pendenza dipende dal valore di R.
Dunque anche il modello del partitore di tensione resistivo è lineare, dal momento che è riconducibile alla formula proporzionale.
La figura qui sopra mostra il grafico della caratteristica di un partitore con i due resistori uguali (rapporto di partizione r = 0,5).
Fra i sistemi non elettrici che presentano lo stesso tipo di modello matematico, possiamo citare la leva di primo genere:
Chiamando M1 e M2 le due forze esercitate e a e b la lunghezza dei due bracci della leva, abbiamo:
M1 = b/a x M2
Si tratta evidentemente di un modello proporzionale e dunque lineare.
Solo i modelli dei sistemi più semplici sono lineari. Considerando per esempio il caso del resistore, se siamo interessati a calcolare la potenza P erogata, la formula da considerare è:
P = V2/R = 1/R x V2
In questo caso la presenza del quadrato della tensione rende il modello non lineare e non proporzionale. Infatti il grafico che ne risulta ha la forma di una parabola e non di una retta:
In realtà la stessa legge di Ohm è solo un'approssimazione semplificata del comportamento di un resistore reale. Per esempio, se teniamo conto del fatto che il valore di R dipende dalla temperatura T, abbiamo la formula:
che sostituita nella legge di Ohm fornisce:
Come si vede si tratta di un modello non proporzionale e non lineare. La temperatura T dipende a sua volta dalla corrente I che attraversa il resistore e dunque il grafico della caratteristica assume una forma non rettilinea (per correnti e temperature elevate):
Sito realizzato in base al template offerto da
http://www.graphixmania.it
