Non abbiamo ancora considerato il caso di tasso di accrescimento Ta negativo. Ciò si verifica se il tasso di mortalità risulta maggiore del tasso di natalità.
In questo caso la popolazione invece di aumentare, si
riduce progressivamente fino ad
estinguersi. Ad esempio se N(0) =
1000 e Ta = -0,1
abbiamo (sempre con
Dtg=30
minuti):
N(30) = N(0) - 0,1 N(0) = 1000 - 100 =
900
N(60) = N(30) - 0,1 N(30) = 900 - 90 =
810
N(90) = N(60) - 0,1 N(60) = 810 - 81 =
729
Come si può osservare, la popolazione diminuisce sempre
di più tendendo a zero, anche se il calcolo del modello iterativo non
fornisce mai esattamente il valore N
= 0. L'andamento che si ottiene si dice
esponenziale decrescente. Come
l'esponenziale crescente, anche l'esponenziale decrescente è caratterizzato
da una pendenza che in ogni punto è direttamente proporzionale al valore
della curva. Solo che in questo caso la costante di proporzionalità è
negativa, cioè la pendenza è sempre negativa e dunque la curva risulta
decrescente. Come si può osservare dalla figura 3.8, l'andamento
esponenziale decrescente risulta uguale all'andamento esponenziale
crescente, a condizione di capovolgere l'asse dei tempi
t.
Introducendo il concetto di tasso di accrescimento Ta (che può anche assumere valori negativi), il modello iterativo che abbiamo ricavato può essere applicato a qualsiasi popolazione di animali e anche alla popolazione umana:
N(t +
Dt)
= N(t) + Ta N(t)
Si noti che abbiamo riscritto la formula con Dt invece che con Dtg come fatto finora. Infatti, considerando una popolazione di animali qualsiasi, Dt rappresenta semplicemente l'intervallo di tempo fra due calcoli e non più la durata di una generazione. Per esempio spesso viene scelto Dt=1 anno e di conseguenza Ta rappresenta il tasso di accrescimento annuo della popolazione.
Si consideri per esempio il grafico seguente che mostra la crescita della popolazione umana fino all'anno 2000. Non è difficile riconoscere il tipico andamento esponenziale crescente:
Inoltre il nostro modello iterativo può essere anche applicato ad altri sistemi di tipo completamente diverso. Per esempio, la formula per il calcolo dell'interesse composto su un conto corrente bancario o quella per il calcolo dell'inflazione in economia sono praticamente identiche al nostro modello iterativo per la popolazione.
In ambito fisico un altro esempio è quello del decadimento radioattivo, fenomeno per cui una sostanza radioattiva decade nel tempo, trasformandosi in un'altra sostanza. In questo caso il modello iterativo presenta un Ta negativo e dunque produce un tipico andamento esponenziale decrescente:
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