Consideriamo lo schema seguente:

Essendo presente una retroazione negativa (resistore R) possiamo subito affermare che la tensione differenziale di ingresso v_d = 0 e dunque:

v_R = V_in

da cui abbiamo subito:

i = v_R/R = V_in/R

Siccome nell'operazionale non entra corrente, questa è anche la corrente che passa nel condensatore C. In base alla legge del condensatore abbiamo quindi:

Abbiamo dunque infine:

Osserviamo che la tensione di uscita, a meno di una costante di proporzionalità pari a 1/RC, risulta proporzionale all'integrale della tensione applicata in ingresso. Il segno meno è dovuto al funzionamento invertente dell'operazionale in questa configurazione, detta appunto integratore invertente.

Un esempio di funzionamento dell'integratore

Supponiamo di applicare in ingresso al derivatore un segnale V_in a onda quadra con ampiezza 1V e periodo 2ms (f=500 Hz) come in figura:

Supponiamo inoltre che nel circuito si abbia R = 10 kΩ e C = 100 nF. Abbiamo dunque:

Dunque l'uscita è uguale all'integrale di V_in moltiplicato per 10³ e invertito di segno.

Per calcolare l'integrale del segnale ad onda quadra di ingresso, basta interpretare i valori dell'onda quadra come altrettante pendenze. Ciò significa che dove l'onda di ingresso vale +1V, l'onda di uscita sarà una retta decrescente (a causa dell'inversione di segno) con pendenza -10³ V/s. Viceversa dove l'onda di ingresso assume valore -1V, l'onda di uscita avrà una pendenza positiva di 10³ V/s. Il grafico seguente mostra il confronto fra onda di ingresso e segnale prodotto in uscita dall'integratore:

Si noti che in uscita abbiamo un'onda triangolare, cioè appunto l'integrale dell'onda quadra di ingresso.  

Integratore reale

Lo schema precedente è detto ideale perché in un caso reale potrebbe non funzionare correttamente. Se infatti il segnale di ingresso V_in presenta un offset costante (cioè un valore medio diverso da zero), tale tensione costante integrata porta l'operazionale a saturare.

In pratica è sufficiente che il segnale di ingresso non risulti perfettamente "bilanciato", cioè che i suoi valori massimo e minimo non siano esattamente uguali e opposti), perché l'effetto di integrazione produca inevitabilmente la saturazione. Anche le piccole tensioni e correnti di offset presenti in tutti gli operazionali reali possono produrre lo stesso effetto nell'integratore.

Per risolvere il problema si adotta lo schema seguente nel quale è stata aggiunta una resistenza R₂ in parallelo al condensatore:

Il resistore R₂ viene di solito scelto di valore molto grande, in modo da non modificare sensibilmente il normale funzionamento dell'integratore. La sua presenza serve per limitare il massimo guadagno del circuito al valore del guadagno nell'amplificatore invertente e cioè -R₂/R₁. In questo modo eventuali piccoli offset presenti in ingresso non vengono amplificati oltre a tale valore e non fanno saturare l'operazionale.

 

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