Consideriamo lo schema seguente:
Essendo presente una retroazione negativa (resistore R) possiamo subito affermare che la tensione differenziale di ingresso vd = 0 e dunque:
vC = Vin
La corrente i che passa nel condensatore può essere calcolata in base alla legge del condensatore:
i = C v'C = C V'in
La corrente risulta dunque proporzionale alla derivata della tensione di ingresso. Siccome nell'operazionale non entra corrente, i è anche la corrente che attraversa il resistore R.
Abbiamo dunque infine:
Vout = - R x i = - RC V'in
Osserviamo che la tensione di uscita, a meno di una costante di proporzionalità pari al prodotto RC, risulta proporzionale alla derivata della tensione applicata in ingresso. Il segno meno è dovuto al funzionamento invertente dell'operazionale in questa configurazione, detta appunto derivatore invertente.
Un esempio di funzionamento del derivatore
Supponiamo di applicare in ingresso al derivatore un segnale Vin a onda triangolare con ampiezza 1V e periodo 2ms (f=500 Hz) come in figura:
Supponiamo inoltre che nel circuito si abbia R = 1 kΩ e C = 1 μF. Abbiamo dunque:
Vout = - RC V'in = - 10-3 V'in
Dunque l'uscita è uguale alla derivata di Vin moltiplicata per 10-3 e invertita di segno.
Per calcolare la derivata del segnale ad onda triangolare di ingresso, calcoliamone la pendenza dei singoli tratti rettilinei facendo il rapporto incrementale Δy/Δx come mostrato in figura:
Il grafico dell'onda di uscita è dunque formato da una serie di tratti costanti di valore uguale alla derivata calcolata precedentemente e moltiplicata per - 10-3. Il risultato è mostrato in figura:
Il derivatore dunque trasforma un'onda triangolare in un'onda quadra.
Derivatore reale
Lo schema precedente è detto ideale perché in un caso reale potrebbe non funzionare correttamente. Se infatti il segnale di ingresso Vin presenta dei tratti a pendenza molto ripida, la sua derivata diventa molto elevata e di conseguenza l'uscita dell'operazionale tende a saturare.
Occorre notare che i tratti a pendenza ripida (ovvero a derivata elevata) possono anche essere presenti in un eventuale disturbo (rumore) indesiderato che si sovrapponga al segnale utile. In sostanza, in presenza di rumore con variazione rapide (e ripide!) il circuito precedente tende a saturare. Si noti a questo proposito che anche un segnale di piccola ampiezza ma con elevata derivata è in grado di mandare in saturazione l'operazionale.
Per risolvere il problema si adotta lo schema seguente nel quale è stata aggiunta una resistenza R1in serie al condensatore:
Il resistore R1 viene di solito scelto di valore molto piccolo, in modo da non modificare sensibilmente il normale funzionamento del derivatore. La sua presenza serve per limitare il massimo guadagno del circuito al valore del guadagno nell'amplificatore invertente e cioè -R2/R1. In questo modo eventuali disturbi non vengono amplificati oltre a tale valore e non fanno saturare l'operazionale.
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