Proposizioni logiche
La branca della matematica che si occupa di studiare l'elaborazione binaria si chiama algebra di Boole (o algebra booleana) dal nome del matematico britannico George Boole (1815-1864) considerato il fondatore della cosiddetta logica matematica. In effetti l'importanza del lavoro di Boole non fu apprezzata fino agli anni 30 del secolo scorso, quando Claude Elwood Shannon (1916–2001) presentò una tesi di master al MIT che rivoluzionò l'elettronica. In questa tesi, Shannon mostrò che l'algebra booleana offriva lo strumento ideale per rappresentare le operazioni logiche nei sistemi digitali.
Chiaramente Boole all'epoca non si interessava affatto di computer, ma si occupava essenzialmente dello studio di proposizioni logiche, cioè di affermazioni che possono essere a seconda dei casi vere o false. Alcuni semplici esempi di proposizioni logiche sono:
È domenica
Vado a scuola
Piove
Vado a piedi
Prendo l'autobus
Evidentemente ognuna delle frasi precedenti può essere vera oppure falsa a seconda dei casi. Boole non era interessato però alla verità o meno di ogni singola proposizione logica, ma alle regole in base alle quali è possibile combinare (mettere insieme) più proposizioni logiche. Per esempio se scrivo:
È domenica e piove
ho creato in questo modo una nuova proposizione logica combinandone insieme due per mezzo della congiunzione "e". In modo simile posso scrivere:
Vado a piedi oppure prendo l'autobus
e ho formato una nuova proposizione logica. Un altro esempio ancora è
Non è domenica
In questo caso ho creato una nuova proposizione logica negandone un'altra. Chiaramente si possono pensare anche esempi più complessi, come:
È domenica e non piove
E' interessante anche la possibilità di scrivere espressioni logiche di questo tipo:
SE non è domenica e piove ALLORA vado a scuola e prendo l'autobus
In questo caso "vado a scuola" e "prendo l'autobus" dipendono dal fatto che "è domenica" sia FALSO e "piove" sia VERO. Vedremo fra poco come queste concatenazioni di proposizioni logiche, la cui verità/falsità dipende dalla verità/falsità di altre proposizioni, siano rappresentabili in modo molto semplice e chiaro usando i simboli del sistema binario e le tabelle di verità.
Gli operatori logici hanno una funzione analoga agli operatori matematici (+, -, *, /) nell'algebra ordinaria: servono per effettuare calcoli di espressioni logiche.
Gli operatori logici fondamentali dell'algerbra booleana sono quelli che abbiamo già incontrato negli esempi precedenti e in particolare:
- AND
L'operatore AND concatena due proposizioni in modo tale che il risultato è vero solo se entrambe sono vere (esempio: SE piove AND è lunedì ALLORA...) - OR
L'OR concatena due proposizioni in modo tale che il risultato è vero se almeno una delle due (o tutt'e due) sono vere (esempio: SE piove OR nevica ALLORA...) - NOT
L'operatore NOT è diverso dai due precedenti perché si applica a una solo proposizione (si dice che è un operatore unario), di cui nega il valore (esempio: SE NOT piove ALLORA...)
Come abbiamo già visto prima, questi operatori possono essere concatenati fra loro in vario modo, per formare proposizioni logiche complesse. Per esempio:
SE NOT è domenica AND (piove OR c'è vento) ALLORA....
Si noti l'uso delle parentesi tonde (su cui torneremo più avanti) con funzioni simili a quelle delle parentesi in matematica: servono per raggruppare una parte di un'espressione e per modificare l'ordine di esecuzione degli operatori.
Come vedremo nel seguito, esistono anche altri operatori logici (NAND, NOR, EX-OR, EX-NOR). Tuttavia questi non sono indispensabili, poiché il teorema fondamentale dell'algebra booleana dice che qualsiasi espressione logica può essere scritta usando solo i tre operatori fondamentali AND, OR e NOT. Torneremo ancora sull'importanza di questo teorema nell'elettronica digitale.
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