Si consideri inizialmente il seguente schema di amplificatore operazionale in configurazione di sommatore invertente:
Essendo tutte le resistenze uguali, l'uscita è data semplicemente dalla somma (invertita di segno) delle tre tensioni applicate in ingresso:
Vout = -R/R*V1 -R/R*V2 - R/R*V3 = -R/R (V1 + V2 + V3) = - (V1 + V2 + V3)
Supponiamo ora di usare tre resistenze con valori diversi, come mostrato in figura:
In questo caso l'uscita non è più la semplice somma delle tre tensioni di ingresso, ma è data da:
Vout = -R/2R*V1 -R/4R*V2 - R/8R*V3 = -R/R (V1/2 + V2/4 + V3/8) = - (V1/2 + V2/4 + V3/8)
Questo tipo di somma viene detta "pesata" in quanto ogni ingresso viene moltiplicato (pesato) per un coefficiente (peso) diverso. I valori dei pesi non sono stati scelti a caso, ma corrispondono al peso di ogni bit in un numero binario a tre bit. Si osservi che il valore esatto di R non influisce sul risultato. Quello che importa è semplicemente il rapporto fra le diverse resistenze, non il loro valore assoluto.
Consideriamo ora il circuito seguente:
I tre deviatori possono collegare ciascun ingresso a Vref oppure a massa a seconda del valore del rispettivo bit. In altre parole, se Bn (cioè B0, B1 o B2) vale 0, il corrispondente deviatore è collegato a massa; viceversa se Bn vale 1, il corrispondente deviatore è collegato a Vref. B0 rappresenta il bit meno significativo (LSB), mentre B2 rappresenta il bit più significativo (MSB) del numero binario. La tensione di uscita è data dunque da
Vout = -R/2R*B2*Vref -R/4R*B1*Vref - R/8R*B0*Vref = -1/2*B2*Vref -1/4*B1*Vref - 1/8*B0*Vref
L'uscita Vout risulta in questo modo proporzionale al numero binario impostato tramite i tre deviatori. Abbiamo così realizzato un convertitore DA a resistenze pesate a 3 bit. Il circuito può essere facilmente esteso a un numero di bit qualsiasi (con n bit occorreranno n deviatori e n resistenze con valori R/2, R/4, R/8,... fino a R/2n).
Facciamo adesso qualche esempio per comprendere meglio il funzionamento del nostro convertitore. Fissiamo Vref = 10 V e supponiamo di avere in ingresso il numero binario 000. Dunque avremo B0=0, B1=0, B2=0 e tutti e tre i deviatori saranno collegati a massa.
Non è difficile rendersi conto che in questo caso l'uscita Vout vale zero, essendo tutti gli ingressi cortocircuitati a massa. Dunque al numero binario 000 in ingresso corrisponde Vout = 0V.
Consideriamo ora il caso in cui in ingresso ci sia il numero 001, cioè B0=0, B1=0, B2=1. La posizione dei tre deviatori è mostrata in figura:
In questo caso l'uscita è data da
Vout = -1/2*B2*Vref -1/4*B1*Vref - 1/8*B0*Vref = -1/2*0*Vref -1/4*0*Vref - 1/8*1*Vref =
= -1/8*1*
Vref = -10/8 = -1,25V
Non ci si preoccupi troppo del segno meno, che, volendo, può essere facilmente eliminato usando una Vref negativa. La cosa interessante è invece che, impostando in ingresso il codice 001, si ottiene in uscita una tensione esattamente uguale a 10/8 cioè a 10/23 essendo 3 il numero di bit del convertitore. Non è difficile rendersi conto che tale tensione corrisponde al valore del quanto con tensione di fondo scala 10 V.
Provando ad analizzare il circuito con altri valori binari in ingresso, si può osservare che la tensione prodotta in uscita è data sempre dal prodotto del numero di ingresso per il quanto, cioè il circuito funziona effettivamente come un DAC. Particolarmente interessante è il caso in cui tutti i bit sono a 1, mostrato nella figura seguente:
In questo caso abbiamo:
Vout = -1/2*B2*Vref -1/4*B1*Vref - 1/8*B0*Vref = -1/2*1*Vref -1/4*1*Vref - 1/8*1*Vref =
= -10/2 -10/4 -10/8 = -8,75V
Si osservi che, come già noto, la massima tensione prodotta in uscita dal DAC non raggiunge la VFSR (che in questo caso è 10 V) ma rimane al di sotto di essa di una quantità pari al valore del quanto (1,25V nel nostro caso).
In un DAC reale i deviatori sono realizzati per mezzo di interruttori elettronici generalmente con tecnologia CMOS. Gli interruttori sono pilotati dalla tensione logica che rappresenta il bit: in presenza di un livello basso (0V in logica TTL) l'interruttore elettronico si apre, mentre in presenza di un livello alto (5V in TTL) l'interruttore elettronico si chiude.
Il DAC a resistori pesati è tuttavia poco usato nella pratica perchè:
- non è semplice realizzare resistenze con valori differenti e perfettamente calibrati, in modo tale che i loro rapporti siano esattamente 1/2, 1/4, 1/8 eccetera. In particolare i rapporti resistivi dovrebbero mantenersi costanti anche al variare dei parametri di funzionamento del circuito (es. temperatura).
- se il numero di bit è elevato, la resistenza più grande può assumere facilmente valori molto elevati (o, viceversa, occorrerebbe usare valori molto piccoli per la resistenza minore). Per esempio con n=12 bit la resistenza maggiore vale 212*R, cioè 4096 volte il valore della resistenza minore.
- la resistenza di ingresso è differente su ciascuno degli ingressi digitali e questo può comportare problemi nel corretto funzionamento del circuito.
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